Aulas de Física        Sistema Didático
                                                                                                                                                            

Home         Eletromagnetismo         Mecânica         Ondulatória         Óptica         Termologia         Biografias         Contato         Apêndice

Cinemática Escalar - MRU: Gráficos


Í  N  D  I  C  E
    01 - Fundamentos
   02 - Velocidade e Aceleração
   03 - Movimento Retilíneo Uniforme
   04 - MRU: Velocidade Relativa
   05 - MRU: Gráficos

   06 - MRUV: Função Horária da Velocidade
   07 - MRUV: Função Horária
do Movimento
   08 - Equação de Torricelli
   09 - MRUV: Gráficos
   10 - Movimento Vertical










  MRU: Gráficos                                                         

Em nosso dia-a-dia já estamos até familiarizados com os gráficos, pois nos confrontamos com muitos tipos deles diariamente, seja com uma apresentadora de TV mostrando a previsão do tempo, seja com um economista mostrando a evolução da inflação ou mesmo a conta de energia elétrica mostrando a evolução dos consumos de energia nos últimos doze meses.

Os gráficos nos dão uma visão rápida da apresentação de determinado tema, independentemente de sermos ou não especialistas em tais assuntos.

 É claro que para se obter um resultado mais profundo, normalmente se faz necessário o estudo de como foram obtidos os resultados que deram origem a determinado gráfico.

Para ilustrar, segue abaixo um gráfico que exibe a evolução da inflação de jan/15 a abr/16.


Fonte:http://pt.tradingeconomics.com/brazil/inflation-rate-mom”

Para iniciarmos os estudos de gráficos no MRU, primeiramente precisamos de alguns conceitos matemáticos, os quais seguem abaixo.

 

Plano Cartesiano

O sistema de coordenadas cartesianas, ou coordenadas retangulares, é composto por três eixos perpendiculares entre si (sistema 3D), os quais se interceptam num único ponto, denominado Origem do Sistema.

Para nossos estudos, iremos utilizar apenas dois eixos (sistema 2D), ou seja, trabalharemos no “Plano Cartesiano” composto pelos eixos X e Y.

Obs.: o eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo y o eixo das ordenadas, sendo que o par ordenado ( x ; y ) define as coordenadas.

A figura abaixo representa o Plano Cartesiano.


Todo ponto pertencente ao plano é definido por duas coordenadas, x e y, sendo que na representação gráfica, sempre a primeira coordenada representa o eixo x e a segunda o eixo y, como mostra o exemplo: P ( 3 ; 7 ) => x = 3 e y = 7.

Obs.: poderíamos representar o par ordenado utilizando vírgula, P ( 3 , 7 ), porém deve se tomar cuidado quando se está trabalhando com números decimais.

Veja o exemplo abaixo:

P ( 2,5,9) e daí!?!?   Temos x = 2,5 e y = 9 ou x = 2 e y = 5,9???

Veja que se utilizarmos o ponto e vírgula resolvemos o problema.

P ( 2,5;9 ) => x = 2,5 e y = 9  ou  P ( 2;5,9 ) => x = 2 e y = 5,9.

O gráfico a seguir mostra alguns pontos e suas coordenadas para ilustrar o conceito de plano cartesiano.



Equação da Reta

Quando estudamos funções em matemática, vemos que a função do tipo: f(x) = a.x + b tem como gráfico uma reta.

As letras a e b representam valores constantes, enquanto que x e f(x) são variáveis.

No plano cartesiano os valores de y são dados por f(x) que é uma representação matemática para dizer que estes valores estão em função daqueles assumidos pela variável x.

Vamos ilustrar os conceitos definidos acima através de um exemplo prático.

Sejam os valores de a e b dados por: a = 3 e b = 6. A função f(x) fica definida por: y = 3.x + 6.

Vamos definir alguns valores para x, por exemplo, considerar que estes variem de -3 até 3. Calculando os valores de y, temos:

x = - 3 => y = 3.( - 3 ) + 6 = - 9 + 6 = - 3

x = - 2 => y = 3.( - 2 ) + 6 = - 6 + 6 =   0

x = - 1 => y = 3.( - 1 ) + 6 = - 3 + 6 =   3

e assim por diante, com mostra a tabela abaixo:

x

y

-3

-3

-2

0

-1

3

0

6

1

9

2

12

3

15


Plotando os pontos da tabela acima no plano cartesiano e ligando os mesmos, observamos que o resultado é uma reta.



Utilizando o plano cartesiano e subtraindo as coordenadas de dois pontos quaisquer, que podemos chamar de A(x1 ; y1) e B(x2 ; y2), sendo as respectivas equações: y1 = a.x1 + b e y2 = a.x2 + b, deduzimos a seguinte expressão:

y2 – y1 = a.x2 + b – ( a.x1 + b )  =>  y2 – y1 = a.x2 + b – a.x1 – b

Eliminando o termo b e pondo a em evidência, temos:

y2 – y1 = a.( x2 – x1 )

Considerando que Δx = x2 – x1  e que  Δy = y2 – y1, isolando a constante a, temos:



Observando o gráfico abaixo deduzimos, por comparação, que a = tg θ, onde a é denominado coeficiente angular da reta, ou seja, o valor da constante a define a inclinação da reta em relação ao eixo x.



De acordo com o sinal do coeficiente angular a reta é definida como crescente, decrescente ou constante conforme ilustra o gráfico abaixo:


Função Horária da Posição (Equação Horária)

Em Movimento Retilíneo Univorme (MRU) foi visto que a função horária da posição é dada pela expressão: s(t) = s0 + v.t

Comparando com  f(x) = b + a.x   concluímos que o gráfico que representa a posição em função do tempo é uma reta.

As constantes a e b são respectivamente representadas por v (velocidade da partícula) e s0 (posição inicial da mesma).

Como definido acima, a velocidade na equação horária representa o coeficiente angular da reta e é definida, no gráfico espaço-tempo (sxt), pela tangente do ângulo em relação ao eixo dos tempos.


Pelo fato da velocidade ser constante durante todo o movimento, quando plotamos o seu gráfico em função do tempo (vxt), a representação da mesma será uma reta paralela ao eixo dos tempos.




No gráfico da Vxt, quando calculamos a área sob a curva entre dois tempos distintos, temos que a base é composta pelo intervalo de tempo e a altura pela velocidade.


Assim sendo, a área será igual ao produto da velocidade pelo intervalo de tempo que é a definição de deslocamento, ou seja:

A = v.Δt = Δs


Aplicando os resultados acima, quando tivermos que resolver algum problema em Física sobre MRU, que tenha sido dado o gráfico da velocidade em função do tempo e seja pedido o deslocamento, basta calcularmos a área sob a curva no intervalo de tempo referido.

A seguir vamos apresentar alguns exercícios resolvidos para ilustrar os conceitos desenvolvidos nesta aula.

 

Exercícios Resolvidos

01 – (FisMática) Uma partícula se desloca conforme mostra o gráfico abaixo:


Determine:

a) A equação horária do movimento;

b) a posição da partícula no instante 8 s;

c) graficamente, o deslocamento ente os instantes 5  e 12 s.

Resolução:

a) Observando o gráfico, vemos que a posição inicial é: s0 = 20 m.

O outro par ordenado é (15 ; 80), ou seja, o tempo vale 15 s e a posição 80 m.

Substituindo os valores acima na equação horária da posição, conseguimos calcular a velocidade:

s = s0 + vt  =>  80 = 20 + v.15  =>  15.v = 60  => v = 4 m/s

Portanto a equação horária é:

s = 20 + 4.t

b) Para calcularmos a posição no instante 8 s, basta substituir este valor na equação horária:

s = 20 + 4x8 = 20 + 32  =>  s = 52 m

c) Traçando o gráfico para a velocidade, posicionando os pontos em referência e calculando a área sob a curva entre os tempos 5 e 12 s (que equivale ao espaço percorrido), temos:



Δs = "A" = b.h = (12 - 5).(4 - 0) = 7x4  =>  Δs = 28 m

02 – (UFPE) O gráfico representa a posição de uma partícula em função do tempo. Qual a velocidade média da partícula, em metros por segundo, entre os instantes t = 2,0 min e t = 6,0 min?

a) 1,5          b) 2,5         c) 3,5         d) 4,5         e) 5,5


Resolução:

Obs.: Entre os instantes 0 e 3,0 s o gráfico apresenta uma reta paralela ao eixo dos tempos, mostrando que a posição não se alterou, ou seja, se manteve em 200 m (2,0x102 m).

No instante t = 2,0 min, a partícula estava em repouso. Passados 4,0 minutos, a partícula alcança a posição 800 m.

No cálculo da velocidade média, nos interessa apenas as posições inicial e final do móvel e seu respectivo intervalo de tempo, não importando se o móvel permaneceu em repouso ou não.

Assim sendo temos:


Para transformarmos m/min em m/s basta considerarmos que 1 min equivale a 60 s.

Resposta: portanto, a alternativa correta é a letra b.